1.平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。

2.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

3.頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角。

4.過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

5.直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離;有2個公共點(diǎn)為相交;圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

6.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含;有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切;有2個公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

圓--⊙半徑—r弧--⌒直徑—d

扇形弧長/圓錐母線—l周長—c面積—s三、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理(27個)

1.點(diǎn)p與圓o的位置關(guān)系(設(shè)p是一點(diǎn)，則po是點(diǎn)到圓心的距離)：

p在⊙o外，po>r;p在⊙o上，po=r;p在⊙o內(nèi)，po

2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

7.不在同一直線上的3個點(diǎn)確定一個圓。

8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形3個頂點(diǎn)距離相等;內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形3邊距離相等。

9.直線ab與圓o的位置關(guān)系(設(shè)op⊥ab于p，則po是ab到圓心的距離)：

ab與⊙o相離，po>r;ab與⊙o相切，po=r;ab與⊙o相交，po

10.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑;經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。

11.圓與圓的位置關(guān)系(設(shè)兩圓的半徑分別為r和r，且r≥r，圓心距為p)：

外離p>r+r;外切p=r+r;相交r-r

1.圓的周長c=2πr=πd2.圓的面積s=s=πr3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面積s=nπr/360=rl/25.圓錐側(cè)面積s=πrl

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)o(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

2.圓的一般方程

把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開,移項,合并同類項后,可得圓的一般方程是

x^2+y^2+dx+ey+f=0

和標(biāo)準(zhǔn)方程對比,其實(shí)d=-2a,e=-2b,f=a^2+b^2

相關(guān)知識:圓的離心率e=0.在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r.

鏈接:圓與直線的位置關(guān)系(一.5)

平面內(nèi),直線by+ax+c=o與圓x^2+y^2+dx+ey+f=0的位置關(guān)系判斷一般方法是

討論如下2種情況:

(1)由by+ax+c=o可得y=(-c-ax)/b,[其中b不等于0],

代入x^2+y^2+dx+ey+f=0,即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0.

利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下:

如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點(diǎn),即圓與直線相交

如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點(diǎn),即圓與直線相切

如果b^2-4ac<0,則圓與直線有0交點(diǎn),即圓與直線相離

(2)如果b=0即直線為ax+c=0,即x=-c/a.它平行于y軸(或垂直于x軸)

將x^2+y^2+dx+ey+f=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

令y=b,求出此時的兩個x值x1,x2,并且我們規(guī)定x1

當(dāng)x=-c/ax2時,直線與圓相離

當(dāng)x1

當(dāng)x=-c/a=x1或x=-c/a=x2時,直線與圓相切

圓的定理：

1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓。

2垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

推論1①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

4圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合

5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的.距離小于半徑的點(diǎn)的集合

6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

7同圓或等圓的半徑相等

8到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓

9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

10推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

11定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

12①直線l和⊙o相交d

②直線l和⊙o相切d=r

③直線l和⊙o相離d>r

13切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

14切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

15推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

16推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

17切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

18圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等外角等于內(nèi)對角

19如果兩個圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

20①兩圓外離d>r+r②兩圓外切d=r+r

③兩圓相交r-rr)

④兩圓內(nèi)切d=r-r(r>r)⑤兩圓內(nèi)含dr)

21定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

22定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正n邊形

23定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

24正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

25定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

26正n邊形的面積sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

27正三角形面積√3a/4a表示邊長

28如果在一個頂點(diǎn)周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

29弧長計算公式：l=n兀r/180

30扇形面積公式：s扇形=n兀r^2/360=lr/2

31內(nèi)公切線長=d-(r-r)外公切線長=d-(r+r)

32定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

33推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

34推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

35弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

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