一、摘要

理解實質(zhì)：

學(xué)會，會學(xué)

對于學(xué)生，不應(yīng)只滿足于表面文字的學(xué)會，還要深入理解概念、原理、方法等的精神實質(zhì)。

這樣解à怎樣解

看透本質(zhì)：

我們做題，首先要找到答案，這是基本要求，但不是最終的目的。如果求出答案后不能把題目所隱含的數(shù)學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)揭示出來，就等于在原有的思維水平上簡單重復(fù)、原地踏步而已。

知其然，不知其所以然

優(yōu)化素質(zhì)：

優(yōu)化數(shù)學(xué)素質(zhì)的主要途徑是注重知識的發(fā)生過程，如概念的形成過程，定理的發(fā)現(xiàn)過程，證明的尋求過程等。對于解題來說，進行解題過程的分析是優(yōu)化素質(zhì)的一條捷徑。

居高臨下的回首，就為我們提供了指導(dǎo)性的經(jīng)驗。

學(xué)數(shù)學(xué)畢竟與學(xué)技藝不盡相同。一門技藝可以通過模仿與重復(fù)操練去掌握，而數(shù)學(xué)解題不是機械地重復(fù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本方法，還要綜合而靈活地運用這些知識和方法，它在本質(zhì)上是一種創(chuàng)造性的思維過程。

后來，我們悟出了一個門路，那就是通過已知學(xué)未知，通過分析已經(jīng)解決過的題來領(lǐng)悟解題的思想，通過解題思想來駕馭知識與方法。

這個體會和方法，使我們擺脫了單純的模仿和在同一思維層次上的簡單重復(fù)，使得每一天的學(xué)習(xí)都能獲得解題能力或思維水平的一點提高。我們認為，為了提高數(shù)學(xué)能力，至少在還沒有找到更好的辦法之前，“分析已經(jīng)解決的題”是一個普遍可行的好方法。

事實上，解題思路的獲得，包括下列“三位一體”的完整工作：

1. 捕捉有用的'信息，符號信息和形象信息;

2. 提取記憶，主要是相關(guān)的公式、定理、基本模式等解題依據(jù);

3. 將兩者有效組合，使之成為一個合乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu)。苦難就在于此步。

做題的作用：鞏固知識，加強記憶，加深理解的知識目的;

但更有提高能力，開發(fā)智力，訓(xùn)練思維的能力目的。

解題的心理過程：

知道的越多，不知道的也越多

有用捕捉、有關(guān)提娶有效組合是心理活動的外在表現(xiàn)它恰好對應(yīng)著人的復(fù)雜心理活動過程的三個環(huán)節(jié)：觀察試驗、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、推理證明。

聯(lián)想轉(zhuǎn)化的樸素含義是，把待解決的或未解決的問題，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決的或者比較容易解決的問題。

愛因斯坦說過：你能觀察到眼前的什么現(xiàn)象，不僅取決于你的肉眼，還取決于你運用什么樣的思維，思維決定了你到底能觀察到什么。例子，魯賓雙關(guān)圖形

g.波利亞：

為初中生設(shè)計的：

設(shè)計出自己的解題表，以適應(yīng)具體的學(xué)科和學(xué)習(xí)的不同階段

差異分析法：

題目的條件與結(jié)論之間的差異成為目標(biāo)差

解題的實質(zhì)就在于設(shè)計一個目標(biāo)差不斷減少的過程

通過不斷尋找目標(biāo)差，不斷減少目標(biāo)差而完成解題的思維方法，成為差異分析法

從尋找目標(biāo)差入手，未知是什么?已知是什么?兩者有什么聯(lián)系與區(qū)別?

特殊化：

數(shù)學(xué)家認為，在討論數(shù)學(xué)問題時，特殊化比一般化起著更為重要的作用

特殊化問題有可能更簡單、更容易，進而推廣之

其功能在于：1解題的突破口，2尋找解題思路的策略，3完成解題過程的方法

由一般退到特殊，由復(fù)雜退到簡單，由抽象退到具體，由整體退到部分，退到最原始而又不失去重要性的地方，退到你會做、能下手的問題上

數(shù)形結(jié)合：一柄雙刃的利劍

數(shù)轉(zhuǎn)化為形，看透實質(zhì)

如果一個特定的問題被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性地思索問題的解法

形轉(zhuǎn)化為數(shù)，

轉(zhuǎn)換思考的角度：

順向推導(dǎo)有困難時就逆向反求，直接解決問題有困難就間接解決，正面證實困難就反面否定，探究可能性困難就探究不可能性，等式證明從左到右不順利就從右到左

逆推法，反證法，舉反例，常量變量換位，公式定理的逆用

分析法：由未知，找須知，靠攏已知

反證法更適用于否定性問題、無限性命題、唯一性命題、存在性問題、逆命題、學(xué)科起始性命題。

分類討論：

層次解決：

解題研究表明，人們在創(chuàng)造性處理一個新問題時，思維是按照層次展開的，先粗后細，先寬后窄

一般性解決à功能性解決，à特殊性解決

層次法往往同方程、函數(shù)結(jié)合起來

解題過程分析：

1. 多走了哪些回路，刪除合并之

2. 能否用更一般的原理代替現(xiàn)存的很多步驟，提高解題的觀點和層次

3. 是否有特殊的技巧

4. 是否浪費了更重要的信息?

整體分解，提煉步驟

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